こんにちは。アラフォーパパです。
この記事からは、三角形の合同の証明について、順次解説していきたいと思います。
証明についての記事はインターネットを検索すればたくさん出てきますが、どれも完成形が載っていて、ありきたりな解説が多いのかなと思います。
そこで、途中ってどうなっているの？という疑問を持つ方もいるのではないかと思い、できるだけ途中経過を載せていきたいと考えています。
また、できるだけ類題を解説していきたいと思っていて、同じように考えれば良い部分と、異なる部分をはっきりとさせていきたいと考えています。
それではご覧ください。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
目次
3辺がそれぞれ等しい
それでは、三角形の合同を証明していきたいと思いますが、３種類ある合同条件のうち、「３辺がそれぞれ等しい」という条件で証明をする問題のみをしばらくは扱っていきたいと考えています。
通常の証明の場合は、まず問題にある内容から合同条件のうちどれが使えそうかと考えるところから始まると思います。
しかし、このブログではその常識は取っ払って、証明について学んでいければと思います。
まずは、基本となる形からスタートしていきましょう！
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図をみるだけでわかるパターン
次の図の⊿ABC≡⊿DEFを証明せよ。
まずは、この問題で3辺がそれぞれ等しいときの証明を見てみましょう。
※青い背景部分が証明です。
⊿ABC と ⊿DEF について
【解説】証明を始めるときには、何について書くのかを記載する必要があります。今回は三角形の合同についてですので、どの三角形とどの三角形について話を始めるよという連絡事項を書く必要があります。このときに、対応する頂点のアルファベットを同じ位置に書きます。Aと対応するDを先頭に書いて、Bと対応するEを２番目に記載します。
仮定より、AB=DE ・・・①
AC＝DF ・・・②
BC=EF ・・・③
わかっている条件を書いていって、合同の証明に持ち込むためのパートです。今回は問題にある図に同じ長さを示すマークがついています。問題文から条件を引っ張ってくるときには、すべて「仮定より」で大丈夫です。
ちなみに、すべての条件に「仮定より」と書いてあっても問題ありませんが、テストで時間がないだろうということもありますので、省略が可能とおぼえておくとよいしょう。
仮定より、AB=DE ・・・①
仮定より、AC＝DF ・・・②
仮定より、BC=EF ・・・③
このように記載しても大丈夫です。
細かい話になりますが、AB＝EDだと採点者は丸にしようかどうしようかと迷います。先程も書きましたが、対応する頂点のアルファベットが出てくる場所を揃えてください。Aに対応する頂点はDなので、AB=DEと記載するべきです。
しかし、AB=DEから書き始めなくても問題はありません。BC=EF、AC=DF、AB=DEの順で条件を書いていっても問題は起きません。
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿DEF
このようにして証明を記載します。
青い背景の文章をつなげると証明になりますので、書き取ってみてください。
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図だけではわからないパターン
次の図は、AB=DE、AC=DF,BC=EFである。⊿ABC≡⊿DEFを証明せよ。
先程の図では、三角形自体に長さが等しい部分を証明するための目印がついていましたが、今回は図の中には目印がありません。
しかし、問題文には、長さが等しい辺について書かれていますので、それを利用すればよいということになります。
そして、証明は全く一緒です。
⊿ABC と ⊿DEF について
仮定より、AB=DE ・・・①
AC＝DF ・・・②
BC=EF ・・・③
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿DEF
つまり、図形に記載があるか、問題文に記載があるかという違いは、証明にはなんら影響を与えません。
次の問題を見てみましょう。
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図だけではわからないパターン２
次の図は、AB=DE、AC=DF,BC=EFである。⊿ABC≡⊿DEFを証明せよ。
先程までは、見た目で同じような図形だなとわかりやすかったと思いますが、今回は片方の図形が１８０度回っている状態です。
しかし、問題文には条件が書いてあって、対応する頂点もわかりますので、図をみて思い込まず、問題文をみて考えてみましょう。
ちなみに、証明はいままでと同じ内容になります。
⊿ABC と ⊿DEF について
仮定より、AB=DE ・・・①
AC＝DF ・・・②
BC=EF ・・・③
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿DEF
つまり、図形がひっくり返っていようが、関係ないんですね。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「三角形の合同の証明1-1」と題したものでした。
「３辺がそれぞれ等しい」という条件を使用した証明の最初の一歩です。
証明をするためのヒントが図形にあるのか、問題文にあるのか、図形がわかりやすく並んでいるのか、わかりにくくしてあるのか、そういった違いはありますが、同じ図形で証明をする場合には、同じ文章がならんだ証明になります。
最初の一歩となる証明ですが、図形が変わったりしたらわからなくなってしまったなど、つまづくようであれば、先に進まずに今回の記事を何度も読み返したり、図形や問題文、証明を何度も手書きで書いたりしてみることをおすすめします。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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