【必見】数学の証明ができるようになる②

こんにちは。アラフォーパパです。

今回の記事は、三角形の相似に関する問題の解説になります。

前回の記事では、三角形の合同の証明をしましたので、そちらもご覧ください。

証明と聞くだけで、見たくない、触れたくない方にぜひお届けしたい証明の解説です。

できるだけ細かく、できるだけ行間を省略しないように書きたいと思います。

その分、証明が長くなってしまいますので、ご了承ください。

では、ご覧ください！

相似条件

相似条件の確認をしましょう。

・3組の辺の比がすべて等しい
・2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
・2組の角がそれぞれ等しい

このうちどれかを満たすことができれば、「２つの三角形は相似である」ということができます。

例題

三角形ABC（△ABC）において、頂点Aから辺BCに垂直におろした時の交点をX、頂点Bから辺ACに垂直におろした時の交点をYとする。また、線分AXと線分BYの交点をZとする。
この時、次の問に答えよ。

問1　△AZYと相似関係にある三角形をすべて示し、それぞれ証明せよ。

三角形の相似の証明の準備

図形の性質を利用して、利用可能な情報を調べていきましょう。

対頂角の性質

対頂角の性質から、∠AZY＝∠BZX・・・①

対頂角の性質から、∠AZY＋∠XZY＝１８０°・・・②

直角三角形の性質

直角三角形の性質から、∠AZY＋∠YAZ＝９０°・・・③、∠BZX＋∠XBZ＝９０°・・・④

円に内接する四角形の性質

∠BYC＝９０°、∠CXZ＝９０°から、対角の和が１８０°であるため、四角形CYZXは円に内接している。

円に内接する四角形の性質から、∠YCX＝∠AZY・・・⑤

三角形の相似の証明

今回の問題は、△AZYと相似関係にある三角形を証明していけばよいです。

すべてを一回で証明はできないので、一つずつ証明していき、最終的にすべて相似であることを示せば良いのです。

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△AZYと△ACXにおいて
仮定より、AC⊥BY、BC⊥AXであるため、∠BYC＝９０°・・・①、∠CXZ＝９０°・・・②
四角形CYZXの対角の和が１８０°であるので、
四角形CYZXは円に内接している。
円に内接する四角形の性質から、円に内接する四角形の内角はその対角の外角と等しいので、
∠YCX＝∠AZY・・・③
仮定より、AC⊥BY、BC⊥AXであるため、∠AYZ＝９０°・・・④、∠AXC＝９０°・・・⑤
④、⑤より、∠AYZ＝∠AXC・・・⑥
③、⑥より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AZY∽△ACX

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

「仮定より」と記載するときは、問題文から分かることを記載する場合です。

今回の証明は、かなり細かく記載しましたので、省略可能な部分を削ったバージョンを記載します。

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△AZYと△ACXにおいて
仮定より、∠BYC＝∠CXZ＝９０°
四角形CYZXは対角の和が１８０°のため、円に内接しており、内角はその対角の外角と等しいので、
∠YCX＝∠AZY・・・①
仮定より、∠AYZ＝∠AXC・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AZY∽△ACX

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

少しスッキリしたでしょうか。

おそらくこの程度までの省略であれば問題ないと思われます。

そして、お気づきになられたでしょうか。

わざと書かなかった条件があります。

共通角の∠YAZ＝∠XACです。

本来は真っ先に使用するべきです。別バージョンで証明してみましょう。

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△AZYと△ACXにおいて
仮定より、∠AYZ＝∠AXC・・・①
共通角のため、∠YAZ＝∠XAC・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AZY∽△ACX

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

さらに、△AZYと△BZX、△BZXと△BCYがそれぞれ相似であると示せれば、題意に沿うことができます。

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△AZYと△BZXにおいて
仮定から、∠AYZ＝∠BXZ・・・①
対頂角の性質から、∠AZY=∠BZX・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AZY∽△BZX

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△BZXと△BCYにおいて
仮定より、∠BXZ＝∠BYC・・・①
共通角のため、∠ZBX=∠CBY・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、△BZX∽△BCY

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

最後に次の文章を書きます。

ーーーーーーーーーー証明つづきーーーーーーーーーーー

以上より、△AZY∽△ACX、△AZY∽△BZX、△BZX∽△BCY

よって、△ACX、△BZX、△BCYは△AZYと相似の関係にある。

従って、題意は示された。

ーーーーーーーーーー証明終ーーーーーーーーーーーーー

このようにして、記載していくことになります。

まとめ

今回は、三角形の相似の証明についての解説でした。

合同のときのも使用して図を用いて行いました。

合同のときよりも初期条件が少なくなっていますが、問題なく証明が可能でした。

しかし、長さに関する情報がなかったため、相似条件のうち長さが関連するものを使用することができませんでした。

次の記事では、長さに関連する情報が入った問題で、証明を記載したいと思います。

最後までご覧いただきありがとうございました！