こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、三角形の合同の証明２－１と題して、「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件で証明する内容をお届けしました。
２つ目の合同条件の縛りで解説を始めた最初の記事になりました。
単純な図形から始めていますので、証明が苦手だなと言う方はまずは２ー１や１－１の記事を見たほうが良いでしょう。
今回は、「共通」をテーマにして三角形の合同を証明していきましょう。
すでに辺が共通なパターンは解説してありますが、もう一度やってみましょう。
また、角が共通であるパターンもありますので、そちらも解説していきたいと思います。
それではご覧ください。
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合同条件
今回からは、３種類ある合同条件のうち、「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という条件で証明をする問題のみになります。
合同条件を選択する部分については、考える必要がありませんので、証明の内容に集中しましょう。
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共通の辺があるパターン
図の△ABCの∠BACを二等分する半直線が辺BCと交わる点を点Dとするとき、△ABD≡△ACDを示せ。
ただし、AB=ACとする。
それでは証明をしていきましょう。
まずは、必ず書く文言から。
△ABDと△ACDについて
そして問題文からわかることをとりあえず書きます。
仮定より、AB=AC・・・①
仮定より、∠BAD=∠CAD・・・②
ここまでは問題文から分かりましたね。
最後は図形が重なっているところになりますので、共通の辺ですね。
辺ADは共通・・・③
①、②、③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACD
共通というのは珍しく図形で判断できるものです。
図形で見て証明に使っていいのは、共通の辺と共通の角と対頂角くらいです。
もちろん、平行や図形に同じ長さとか同じ大きさの角の印があればいいですが、同じくらいに見えるというのはダメです。
図形をみて判断したくなる気持ちはわかりますが、どんなに同じに見えても、例え実際に同じ長さでも、図形から見てというのは証明では使えないので注意してくださいね。
もう一つ共通の辺を使う証明をしてみましょう。
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共通の辺があるパターン2
二等辺三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺AC上に点Eがある。DB=ECの時、△DBC≡△ECBを示せ。
さて、このシリーズでは初めてですが、図形が表示されない問題としてみました。
せっかくなので、手書きで図形の途中経過を書いて、どのタイミングで証明を書くのかみていきましょう。
自分で問題を作っておいて、なんとも言えませんが、最初に書いた図はこれでした。
「二等辺三角形ABCがあり、辺AB上に点D、辺AC上に点Eがある。DB=ECの時、」の部分までですが、その後の「△DBC≡△ECBを示せ。」をみて、図を書くのちょっと失敗したなと思いました。
BEとDCに線を引きにくいなぁと思ったことと、∠ABC＝∠ACBを図に記載するのが難しそうだったのです。
そこで次のように変えました。
なんとなくの形ができたので、基本の部分を書いていきます。
△DBCと△ECBについて
仮定より、DB＝EC・・・①
△ABCは二等辺三角形なので、∠ABC＝∠ACB・・・②
BC共通・・・③
今回は角でわかっている部分が、二等辺三角形の底辺しかないので、それを中心に考えるのと、問題文にある条件を使うと、後は共通のBCを見つければ証明できる問題でしたね。
したがって、①、②、③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△DBC≡△ECB
図はとりあえず書いてみて、合わないなと思ったら書き直せばよいです。
きれいに書く必要はあまりありません。
何度も書いて、慣れていきましょう。
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共通の角があるパターン
図のような図形がある時、△ABE≡△ACDを示せ。
ただし、AB=ACで、点Dは辺ABの中点、点Eは辺ACの中点とする。
△ABEと△ACDについて
∠Aは共通なので、∠BAE＝∠CAD・・・①
仮定より、AB=AC・・・②
仮定より、点Dは辺ABの中点なので、AB＝2AD・・・③
点Eは辺ACの中点なので、AC＝2AE・・・④
ここまでは問題文からわかることですね。
これらを使って、AD＝AEを導くと、今回のテーマである「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件に持ち込むことができます。
そこで次のように文章を書くことで、AD=AEを作ることができます。
②、③、④より、AD＝AE・・・⑤
この文章によって、「②のAB=ACに③と④を代入して計算するとAD=AEになりますよ」という意味が証明に加わるため、AD=AEを証明したことになります。
したがって、①、②、⑤より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABE≡△ACD
このように共通の角を利用して合同を証明することができました。
使うかどうかわからない段階であっても、共通の角は把握しておいた方が良いでしょう。
だいたい使いますからね。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「三角形の合同の証明2-2」と題したものでした。
共通の辺や共通の角を利用した合同の証明を行いました。
今回は、「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件をテーマにして解説していきました。
異なる証明の書き方もあるとは思いますが、まずは共通の辺や共通の角の利用方法を学べればと思います。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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