こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、三角形の合同の証明１－１と題して、「３辺がそれぞれ等しい」という合同条件で証明する内容をお届けしました。
基本的な合同の証明の形を知ることができましたでしょうか。
基本ができていないまま、応用に入っていくとわからなくなっていってしまうので、証明が書けるかなぁと思う方はもどって自信がつくまで繰り返したほうがよいでしょう。
それでは、前回の内容に加えて、「共通」という概念が出てきますので、それを考慮した証明を見ていきましょう。
それではご覧ください。
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合同条件
今回も、３種類ある合同条件のうち、「３辺がそれぞれ等しい」という条件で証明をする問題のみになります。
合同条件を選択する部分については、考える必要がありませんので、証明の内容に集中しましょう。
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共通の辺を利用するパターン１
次の図の⊿ABC≡⊿ADCを証明せよ。AB=AD、BC=DCである。
証明の条件は「３辺はそれぞれ等しい」とわかった状態ですので、辺の長さの等しいところを探していきましょう。
とりあえずは、最初の文言がありましたね。
⊿ABCと⊿ADCについて
とりあえず問題文にある条件を書き出していきましょう。
仮定より、AB=AD・・・①
BC=DC・・・②
ここまでは、前回の記事にあった証明と同様の流れですね。
問題はあと１つの辺についてです。
ここで、前回の記事と異なる考え方が必要になります。
今回は、三角形が離れていなくて、辺ACでくっついていますね。
こういうときは、「共通」というワードを利用します。
ACは共通・・・③
もっと詳しく書いても問題ないです。
ACは共通の辺なので、AC＝AC・・・③
といった具合ですね。
これで、３辺揃いましたので、最後のお約束の文言が登場します
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿ADC
この問題では、三角形同士がくっついていることが、応用の部分になります。
書き方を理解すれば問題ないかなぁと思いますが、いかがでしょうか。
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共通の辺を利用するパターン２
次の図の⊿ABC≡⊿DCBを証明せよ。
AB=DC、AC=DBである。
形が少し変わりましたが、図形が重なっていますね。
証明を書いてみましょう。
⊿ABCと⊿DCBについて
この部分はいいですね。
今から証明する三角形の組み合わせです。
仮定より、AB=DC・・・①
AC=DB・・・②
この部分も問題文にあるので大丈夫そうです。
次は共通部分です。
今回は辺BCが「共通」ですね。
ちょっと細かい話になりますが、対応する頂点を意識して書いてみます。
辺BCは共通なので、BC=CB・・・③
図形の向きが異なるので頂点を表すアルファベットの書く順番が反対（BCとCBのところ）になっています。
結構大事な点なので注意して下さい。
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿DCB
このように図形の向き、頂点の順番を意識して書いていきましょう。
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共通の辺を利用するパターン3
四角形ABCDがあり、頂点Aから頂点Cに対角線ACが引かれている。
AB=AD、BC=DCである時、⊿ABC≡⊿ADCを証明せよ。
今回は、図がない問題です。
問題文から自分で図を書く必要があります。
実はパターン1と同じ図形になるのですが、実際に問題を解いている時にはなかなか気付けませんので、適当に図を書く方法で解けるようになりましょう。
図をしっかりと描けるように指導する方がよくいますが、時間の無駄なので、簡単に書ければ良いです。
イメージを掴める程度の図ができたので、証明を書いてみましょう。
パターン1と同じですね。
⊿ABCと⊿ADCについて
仮定より、AB=AD・・・①
BC=DC・・・②
ACは共通・・・③
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、⊿ABC≡⊿ADC
このように図は異なりますが、証明はまったく一緒となります。
問題文などが違うとまったく異なる問題に見えますが、実際はまったく一緒だったよという例です。
色々な問題に触れて、自分の知っている形を増やしていきましょう。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「三角形の合同の証明1-2」と題したものでした。
「3辺がそれぞれ等しい」という条件を利用する証明問題の少しだけ応用編でした。
「共通」という考え方をしっかりと身につけてください。
これからも「共通」という考え方はよく出てくるので、気づけるように注意を払ってくださいね。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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