こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、三角形の合同の証明１－３と題して、「３辺がそれぞれ等しい」という合同条件で証明する内容をお届けしました。
二等辺三角形の性質を利用して、合同条件を導き出すというコンセプトでした。
図形の性質はよく利用されるので、うろ覚えな場合には先にそちらを復習したほうが良いでしょう。
今回は、平行線が関係する図形で三角形の合同を証明していきましょう。
それではご覧ください。
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目次
合同条件
今回も、３種類ある合同条件のうち、「３辺がそれぞれ等しい」という条件で証明をする問題のみになります。
合同条件を選択する部分については、考える必要がありませんので、証明の内容に集中しましょう。
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平行を利用するパターン１
図の二つの三角形は、直線Xと直線Y上に頂点がある。
△ABC≡△DEFを証明せよ。
ただし、X//Y、辺AB//辺DE、辺AC//辺DF、BC=EFである。
今回は平行という条件から長さが等しいという条件を導く問題です。
その前に書けるところを終わらせましょう。
△ABCと△DEFについて
仮定より、BC=EF・・・①
ここまでは良いですね。
問題文から引っ張ってきただけです。
仮定より、X//Y及び辺AB//辺DEなので、四角形ABEDは平行四辺形・・・②
同様に、X//Y及び辺AC//辺DFなので、四角形ACFDは平行四辺形・・・③
問題文から平行線が3組あることがわかりますので、組み合わせで平行四辺形ができあがります。
平行四辺形であることを②、③のように証明の中で証明してあげれば、平行四辺形の特徴を使うことができます。
②より、AB=DE・・・④
③より、AC=DF・・・⑤
④、⑤は平行四辺形の特徴(平行四辺形の向かい合う辺の長さが等しい)ですので、「②より、」とか「③より、」といった書き方で導くことが可能です。
したがって、①、④、⑤より、3辺がそれぞれ等しいので、△ABC≡△DEF
いかがですか？
平行線を使えるようになると、様々な図形の特徴を使って、長さを示すことができますので、ぜひ使えるようになりましょう。
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平行を利用するパターン２
△ABCの辺ABの中点をD、辺BCの中点をE、点Dから辺BCに平行な線を辺ACに向けて伸ばした時の辺ACとの交点をFとする。
この時、△ADF≡△DBE及び△ADF≡△FECをそれぞれ証明せよ。
同じ図形の中の証明ですが、僅かに違いがありますので、それぞれ見てみましょう。
△ADF≡△DBEの証明
まずはわかるところから。
△ADFと△DBEについて
仮定より、点Dは辺ABの中点なので、AD=DB・・・①
ここまでは良いですね。
平行が条件にあるので、使うのかな？という感覚が出てくると良いですね。
仮定より、辺DFは辺BCに平行に延ばした線分なので、辺DF//辺BC・・・②
①、②と仮定より点Eが辺BCの中点であることから、中点連結定理により、DF =BE・・・③
点Dが辺ABの中点で、点Eが辺BCの中点であることから、中点連結定理により、点Fが辺ACの中点であるため、DE=FC・・・④
図を見つつ、平行線と考えたときに、中点連結定理が出てくるという思考の流れができるようになるまで繰り返した方が良いでしょう。
したがって、①、③、④より、3辺がそれぞれ等しいので、△ADF≡△DBE
これで証明ができました。
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△ADF≡△FECの証明
二つ目の証明をしましょう。
△ADFと△FECについて
こちらの証明の場合には、仮定から直接導ける条件がないのが特徴ですね。
最初から中点連結定理を使いましょう。
仮定より、点Dは辺ABの中点であり、辺BC//辺DFなので、中点連結定理から、点Fは辺ACの中点である・・・①
同様に、中点連結定理から2×DF=BC・・・②
中点連結定理でとりあえずわかることを作ってみましたので、それ欲しい情報にしていきましょう。
①より、AF=FC・・・③
DFとECの情報がほしいのですが、②ではDFとBCの情報担ってしまっていますので、ECに関係する情報がないかと問題文を見てみましょう。
仮定より、点EはBCの中点なので、BE=EC・・・④
中点という情報がありましたので、ECとBEに関係する情報が出てきましたね。
②、④より、DF=EC・・・⑤
仮定と③、④より、中点連結定理を用いると、AD=FE・・・⑥
ここで仮定とは、問題文からAD=DBであることです。
③と④の条件からAB//FEがわかるので、中点連結定理を使える状況ですよというのを説明しています。
もしかしたら、「③、④よりFEはACとBCの中点を結んでいるため、AB//FEなので、中点連結定理より、２×FE＝AB・・・⑥」
「仮定より、AD=DB・・・⑦」
「⑥、⑦より、AD=FE・・・⑧」と書いたほうが、より適切なのかもしれません。
したがって、③、⑤、⑥より、3辺がそれぞれ等しいので、△ADF≡△FEC
今回は中点連結定理ばかりでしたね。
重要な定理なのでしっかりと使えるようになりましょう。
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連続問題の場合の対応
さて、二つの証明を別々に行いましたが、実際には連続問題と考えて対応するべきでしょう。
△ADF≡△DBEを証明した上で、△ADFと△FECについて証明をする場合の書き方を解説してみましょう。
△ADFと△EFCについて
さっそく、△ADF≡△DBEを使って、条件を一つ作りましょう。
△ADF≡△DBEより、DF=BE・・・①
仮定より、BE=EC・・・②
①、②より、DF＝EC・・・③
簡単に条件を一つ作ることができましたね。
また、△ADF≡△DBEを証明した際にでてきた条件も証明済みのものとして使用できますので、使います。
点FはACの中点と証明されているため、AF=FC・・・④
②、④から中点連結定理より、AB//FE・・・⑤
仮定から中点連結定理により、DE//AC・・・⑥
ここで仮定とは、点DがABの中点であることと、点EがBCの中点であることです。
仮定および⑤より、四角形DBEFは平行四辺形・・・⑦
仮定および⑥より、四角形DECFは平行四辺形・・・⑧
⑦より、DB＝FE・・・⑨
⑧より、DE＝FC・・・⑩
△ADF≡△DBEより、AD=DB・・・⑪
AF＝DE・・・⑫
⑨、⑪から、AD＝FE・・・⑬
⑩、⑫から、AF＝FC・・・⑭
したがって、③、⑬、⑭より、3辺がそれぞれ等しいので、△ADF≡△FEC
連続問題のときに、前の問題で使ったことを使えるよということを説明したくて、かきましたが、３辺がそれぞれ等しいという条件であるという縛りがあるとなかなか難しいですね。
角を使うと平行線の証明ももっと簡単ですので、そっちのほうがよかったかもしれませんが、できるだけ思いつきで証明をして解説するほうが、役に立つのかなと思ってやっていますので、ご容赦ください。
同じ問題でもまた違った証明ができると思いますので、思い立ったときに続きとして掛ければと思います。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「三角形の合同の証明1-4」と題したものでした。
平行線を利用して必要な条件を集める問題でしたね。
平行四辺形のような平行に関連した図形の場合や中点連結定理を利用した証明が多いと思います。
そもそも平行を利用する場合は、角の方が求めやすいので、3辺がそれぞれ等しいという合同条件を目指す可能性が少ないかもしれませんね。
しかし、考える練習には最適ではないでしょうか。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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