こんにちは。アラフォーパパです。
この記事では、三角形の相似と合同の条件とまとめます。
相似や合同の条件を覚えてから証明を始めようとする方がよくいますが、最初は見ながらやれば良いと思います。
たくさん問題を解いていくうちに覚えていけるでしょう。
逆に、覚えるまでは問題を解いたほうが良いでしょう。
同じ問題でも、異なる条件で解くことができる場合が多いですので、条件を見ながら違う解法を探してみて下さい。
それではどうぞ！
目次
三角形の相似の条件
- 3組の辺の比がそれぞれ等しい
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2つの角がそれぞれ等しい
相似のほうが条件がゆるくなります。
その分証明しやすいでしょう。
三角形の合同の条件
- 3組の辺がそれぞれ等しい
- 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
- １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
相似関係の中で、辺の比が１：１になる場合が、合同と言われます。
そのため、最低でも１組の辺が等しいこと（比が１：１であること）を示す必要があります。
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どうして、相似や合同といえるのか
相似や合同の由来？
相似は大きさが同じでも、違ってもいいけれど、形が同じである２つ以上の三角形があるときに出てきます。
数学を含めた科学は、似ているものを分類していくことからスタートします。
三角形の相似や合同の話をするときは、三角形が同じ形をしているのか、同じ大きさなのかというところで分類をしていったため、そこに名前を付けたのです。
同じ形の三角形（対応する各角の大きさがそれぞれ同じもの）を集めたものが相似です。
そして、相似関係にある三角形の中で、辺の比が１：１になるものを合同と呼ぶことにしたのです。
条件はどこからきた？
相似の話
相似の三角形について考えてみましょう。
対応する３つの角がそれぞれ等しいことと、3組の辺の比がそれぞれ等しいことが、相似関係にある２つの三角形から言えることです。
注目するべきところは、相似関係にある２つの三角形の辺の比率は決まっていないことです。
つまり、対応する３つの角がそれぞれ等しければ、辺の長さに関係なく、２つの三角形は相似関係にあるといえるのです。
また、三角形の内角の和は１８０°ですので、２つの内角がわかれば、３つめの内角は計算で出すことができます。
最終的に、２つの角がそれぞれ等しければ、３つ目の角も等しいと分かるので、２つの三角形は相似関係にあるといえることになります。
これが、相似条件の１つが、２つの角がそれぞれ等しい、になった理由です。
相似条件の残りの２つは正弦定理という高校生の三角比で習う定理を使用する必要があるため、今回は省略です。
合同の話
さて、相似関係にある２つの三角形の辺の比が１：１であるときに、合同という特別な名前で呼ばれます。
辺の比が１：１であることを証明しないと、合同は証明できないため、合同条件には必ず２つの三角形の辺の長さが一致している条件が含まれています。
合同条件は、相似条件からある程度導き出すことができます。
３組の辺の比がそれぞれ等しい（相似条件）
↓
３組の辺の比が1：1でそれぞれ等しい
↓
３組の辺がそれぞれ等しい（合同条件）
これが１つ目です。
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（相似条件）
↓
2組の辺の比が１：１でそれぞれ等しく、その間の角が等しい
↓
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（合同条件）
これが2つ目です。
このように相似条件のうち辺の比を１：１として考えると合同条件になります。
最後に、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（合同条件）についてです。
これは、２つの角がそれぞれ等しい（相似条件）に対応しています。
しかし、相似では辺の比率には特に取り決めがないため、条件からは省略されて（必要ないとされて）います。
合同では、少なくとも1組の辺の長さが等しいことを示さなくてはならないので、条件が追加されていると考えて下さい。
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まとめ
今回の記事は、三角形の相似と合同の条件について解説しました。
相似や合同は、場合によっては条件だけなんとか覚えて、証明の書き方を覚えるだけで終わってしまうことよくあると思います。
しかし、なぜこの条件で示せるのかについて、考えることも、理解をする上では大切です。
少しでも理解の助けになればと思います。
最後まで、ご覧いただきありがとうございました！
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