こんにちは。アラファオーパパです。
今回は、三角形の辺の比と平行線における性質の証明をしたいと思います。
3つ目の性質を証明しますので、ご覧ください。
証明の準備と証明の書き方
証明したい三角形の辺の比に関係する性質は、
－－－－－－－－－－以下性質－－－－－－－－－－
△ABCの線分AB上にP点、線分AC上にQ点をおく。
その時、以下の性質がある。
性質１：PQ//BCならば、AP：AB＝AQ：AC＝PQ:BC
AP：PB＝AQ:AC
性質２：AP:AB=AQ:ACならば、PQ//BC
性質３：AP:PB＝AQ:QCならば、PQ//BC
－－－－－－－－－－以上性質－－－－－－－－－－
性質３について今回は証明します。
性質３の準備
△APQと△ABCが存在します。
性質３の前提として、AP:PB=AQ:QCがあります。
∠PAQ＝∠BACは共通です。
図に線を書き入れる
性質１の後半を証明した時の図を用いてみましょう。
点Pから辺BCに対して伸ばした線で、QC//PRとなるように点Rの場所を定めた図です。
QC//PRなので、AC//PRとわかります。
AC//PRであれば、平行線の同位角は等しいので、∠BPR=∠PAQ、
∠PRB＝∠AQPがわかります。
性質３の証明
点Pから辺BCに対して、QCと平行な線を引き、BCとの交点をRとする。
△ABCと△PBRにおいて、
QC//PRから、AC//PRであり、平行線の同位角は等しいので、∠BPR=∠PAQ・・・①
∠ABC＝∠PBRは共通・・・②
①、②より、２つの角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△PBR・・・③
ここで、AB=k、AC＝ｌとする。
また、AP:PB=AQ:QC＝a：(1-a)とすると
AP=ak、PB=（1-a)k、AQ=al、QC=(1-a)lとなる。・・・④
③より、AP:PB=a:(1-a)=AC:PRなので、AC=lならばPR=(1-a)lである。・・・⑤
④、⑤より、QC=PR・・・⑥
⑥とQC//PRより、1組の対辺が等しく、かつ平行であるので、四角形PRCQは平行四辺形
よって、PQ//RC
点RはBC上にあるので、PQ//BC □
おわりに
いかがでしたでしょうか。
文字を用いて、長さを定義して、証明を行いました。
また、平行四辺形の証明も行うことで、線分の平行の証明を行いました。
これで、三角形の辺の比と平行線における性質の証明をすべて終わりです。
最後までご覧いただきありがとうございました。
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