【必見】数学の証明ができるようになる①

こんにちは。アラフォーパパです。

数学の証明問題って苦手な人が多いですよね。

数式だけあれば解ける問題と違い、日本語で書く必要がある事や論理展開が必要なことが関係しているのではないでしょうか。

今回は、基本的な証明問題である、三角形の合同の問題について、細かく解説してみたいと思います。

図形に関係する問題は高校生になっても出てきます。

証明になれるためには合同や相似といった最初の頃の証明からやり直したほうが近道なのです。

それではご覧ください！

合同条件

最初は、証明に必要な条件の確認です。

条件については、覚えておく必要があるため、何度も問題を解いて、体に染み込ませておくほうが良いでしょう。

• ３組の辺がそれぞれ等しい
• ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
• １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

上記の３種類の合同条件のうち１つを満たせば、「２つの三角形は合同である」と記載することができます。

例題

このような図形の問題は類似の問題が数多くあります。

今回はアラフォーパパが作成した図形と問題で、証明を理解していきましょう。

三角形の合同の証明の準備

問1　∠A（角A）が45°の時、△AYZと△BYCが合同であることを示せ。

まずは、図を書いてみましょう。

図形の作成にはpower point2016を使用しました。

さて、どう見ても見た目では△AYZと△BYCは合同には見えない図形が出来上がりました。

相似を示せの間違いではないのかな？と思うほどですね。

しかし、実際のテストの際には、問題文から図を起こす時にありえない図形が出来上がることはよくあることです。

テストの際に図形を書き直している時間はありません。

今回は、この図形のまま話を進めていきたいと思います。

問題文からわかること

基本は問題文からわかることをすべて書いておくことです。

慣れてくると、必要な条件を必要な時に使用することができるようになりますが、最初はできないと思って、1つずつ確認しましょう。

もう１度図形を出しておきます。

今回わかっていることは、AX⊥BC、BY⊥AC、∠A（∠BACまたは∠CAB）＝４５°

ここまでが問題文とそこから書き起こした図形でわかることです。

図形の性質を利用してわかること

さらにここから、図形の性質を使用して、情報を見つけていきます。

直角三角形の性質

AX⊥BC、BY⊥ACから

△AXB、△AXC、△AYB、△BYC、△AYZ、△BXZが直角三角形です。

∠A＝４５°と△AYBが直角三角形であることから、

∠ABY＝１８０°－∠A－∠AYB＝１８０°－４５°－９０°＝４５°

となります。

二等辺三角形の性質

∠A＝４５°と∠ABY＝４５°から△AYBが二等辺三角形であることがわかります。

△AYBが二等辺三角形であることから、AY＝BYです。

対頂角の性質

対頂角の性質から、∠AZY＝∠BZX、∠AZY＋∠YZX＝１８０°、∠AZB＋∠BZX＝１８０°

四角形の内角の和

四角形の内角の和＝３６０°から、

３６０°＝∠YCX＋∠YZX＋∠CYZ＋∠CXZ＝∠YCX＋∠YZX＋９０°＋９０°＝∠YCX＋∠YZX＋１８０°

すなわち、∠YCX＋∠YZX＝１８０°

式からわかること

∠AZY＋∠YZX＝１８０°と∠YCX＋∠YZX＝１８０°から、

∠AZY＝∠YCX

その他

今回はやりませんが、場合によっては次の方法があります。

先に相似関係になる三角形同士を証明して、角の大きさが同じであると記載する方法

直角三角形があるので、三平方の定理を利用して長さを導く方法（今回は難しい）

三角形の合同の証明

条件１：1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

今回の問題は△AYZ≡△BYCを示すことです。

AY=BY, ∠YAZ＝∠YBC, ∠AYZ＝∠BYC
または
AZ=BC, ∠YAZ＝YBC, ∠AZY＝∠BCY
または
YZ=YC, ∠AYZ＝∠BYC, ∠AZY＝∠BCY
を示すことと同じです。

上記の準備で書いた内容を使用して、証明を書いて見ましょう。

太字で書いた部分が実際に証明で使用する部分。

細字の部分は解説です。

ーーーーーーーーーー証明ここからーーーーーーーーーー

△AYZと△BYCにおいて

∠A＝４５°と△AYBが直角三角形であることから、∠ABY＝４５°

∠A＝４５°と∠ABY＝４５°から△AYBが二等辺三角形

△AYBが二等辺三角形であることから、AY＝BY・・・①

今回は等しい長さの辺で分かっている所は1箇所しかありませんので、使える条件は１つに絞られます。そのため、最初に等しい辺の証明をしておくとよいでしょう。
そしてその両端の角の大きさが等しいことを証明すれば良いです。

仮定よりBY⊥ACのため、∠AYZ＝∠BYC・・・②

ここでは∠AYZ＝∠BYC＝９０°と記載してもよいですが、９０°であることに意味がない（証明に関係ない）ので、記載しなくてよいです。

対頂角の性質から、∠AZY＋∠YZX＝１８０°・・・③

四角形の内角の和＝３６０°から、３６０°＝∠YCX＋∠YZX＋１８０°

すなわち、∠YCX＋∠YZX＝１８０°・・・④

３６０°＝∠YCX＋∠YZX＋１８０°・・・④と書いて、∠YCX＋∠YZX＝１８０°・・・④’と書くような解説本もあると思います。

③、④から∠AZY＝∠YCX・・・⑤

三角形の内角の和＝１８０°、②、⑤から、∠YAZ＝∠YBC・・・⑥

①、②、⑥より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

△AYZ≡△BYC　□

ーーーーーーーーーー証明ここまでーーーーーーーーーー

このように証明を記載すればよいです。

さて、気づかれましたでしょうか？

準備をしたときに作成したものをコピペすればだいたい証明は出来上がるのです。

あとは書く順番を間違えなければ、論理展開もバッチリです。

それぞれの条件を示すための証明を背景の色で分けてあります。

ちょっと見にくいかもしれないですが、証明の形を視覚的に理解してもらえるのではないかと思います。

まとめ

今回は、三角形の合同の証明を用いて、証明の型を説明いたしました。

それでは、おさらいしましょう！

・証明に必要な条件は覚える必要がある（最初は条件を書き出しておいても良い）
・図形の性質を覚えておく必要がある（最初は調べても良い）
・問題文からわかる情報を書き出す
・書き出した情報を証明の形にそってコピペする。

慣れてくれば、必要な情報だけを書き出すことが出来るようになります。

また、証明を書きながら必要な情報を集めることも出来るようになります。

段階を踏んで、段々と解答にかかる時間を減らしていきましょう。

最後までご覧いただき、ありがとうございました！