こんにちは。アラフォーパパです。
今回は、線と角について、まとめていきたいと思います。
分からないことがあるときは、それよりも基礎の部分で理解できないことがある場合がほとんどです。
基礎の部分から確認していきましょう。
それではご覧ください！
覚える時の考え方
突然ですが、RPGゲームをしている時に、無意識にしていることがあります。
それは、敵がでる条件を覚えていることです。
××平原に行けば、○○がでる。でも滅多にでないから何回も戦う必要がある。
△△を持っていると、□□が出現する。
これは、算数や数学でも当てはまるのです。
算数や数学では、定義や性質や公式がありますが、出現する条件があるのです。
問題を解くときに、この性質や公式が使えれば答えが出るのになぁと思ったことがあると思います。
そんなときは、その公式が使える条件（出現条件）を思い出してみて下さい。
きっと使える場所にたどり着けると思います。
線の定義
直線
定義：２点を通り、端が永遠に来ずに続いている真っ直ぐな線
直線ABと記載されている場合、
図の両端が永遠に伸びていくと考えて下さい。
他に平行でない直線があれば、必ずどこかで交点が生じます。
線分
定義：２点の間を結ぶ線
線分ABと記載されている場合は、
点Aおよび点Bで線が終了していることを示しています。
線分ABを跨ぐように直線や半直線、線分が通れば、交点が生じます。
半直線
定義：２点のうち片方点から出発し、もう片方の点を超えて永遠に伸びていく真っ直ぐな線
半直線ABと記載されている場合は、
点B側が永遠に伸びていくことを示します。
半直線ABを跨ぐように直線や半直線、線分が通れば、交点が生じます。
辺
定義：図形上の頂点同士を結ぶ線分
出現条件１：２点間を結ぶ線【＝線分の定義】
出現条件２：図形上の線である場合
辺XY、辺XZ、辺YZのように記載されます。
辺YX、辺ZX、辺ZYと記載されていても間違いではありません。
三角形の時、内角に向かい合う辺を対辺と呼びます。
∠YXZ＝９０°の時、対辺XYを斜辺と呼びます。
三角形の対辺の出現条件１：２点間を結ぶ線【＝線分の定義】【＝辺の出現条件１】
三角形の対辺の出現条件２：図形上の線である場合【＝辺の出現条件２】
三角形の対辺の出現条件３：内角に向かい合う辺
∠XZYの対辺は辺XY、∠XYZの対辺は辺XZ、∠YXZの対辺は辺YZです。
直角三角形の対辺の出現条件１：２点間を結ぶ線【＝三角形の対辺の出現条件１】
直角三角形の対辺の出現条件２：図形上の線である場合【＝三角形の対辺の出現条件２】
直角三角形の対辺の出現条件３：内角に向かい合う辺【＝三角形の対辺の出現条件３】
直角三角形の対辺の出現条件４：三角形の内角の１つが９０°である場合
∠YXZ＝９０°のとき、辺XYは∠YXZの対辺であり、特別に斜辺と呼びます。
平行
概念：同じ平面上の２つの線がいくら延長しても交わらないこと
図は２直線が交わらないことを表している
線分や半直線の場合であっても、直線のように伸ばしたと仮定して場合に、交わらなければ平行と言えます。
ただし、これは証明ができないため、他の方法で平行を証明する必要があります。
交点
定義：２つの線が交わってできる点（１つの線ともう１つの線の端が重なって出来た点を含む）を交点という
出現条件１：２つの線がある。
出現条件２：条件１の線が平行ではない。
出現条件３：条件１の線が交わっている。
点Xや点Yを、それぞれ交点X、交点Yと呼びます。
出現条件２だけでは、交わっていることにならないので注意が必要です。
２つの直線であれば、平行なら必ず交わるが、半直線や線分では、交わるとは限らないためです。
さらに、出現条件が加わると、２つの線は直交すると呼ばれます。
直交の出現条件１：２つの線がある。【＝交点の出現条件１】
直交の出現条件２：条件１の線が平行ではない。【＝交点の出現条件２】
直交の出現条件３：条件１の線が交わっている。【＝交点の出現条件３】
直交の出現条件４：条件１の線が交わった時に出来る角度が９０°である。
角の定義
角
定義：１つの頂点から出ている２つの辺がつくる形を角という
出現条件：２つの線があり、交わっている場合（交点がある場合）
２つの線：線分ABと線分AC
点Aで２つの線分が交わっています。（出現条件）
∠Aもしくは∠BACと書く
角度がわかっている場合は∠A＝aのように書きます。
暗黙の了解１：∠Aと記載したときは、基本的には図形の内側や証明で使用される角を指します。
暗黙の了解２：反対側の角を使用する場合もあるため、明確に指定出来ない場合には、∠Aという記載方法は使用してはいけません。
∠BAD＝∠BAC＋∠CADの時、
∠Aと記載したとすると
∠BADを指すと判断されることもありますが
見分けがつかないのでバツとなる可能性が高いです。
∠BAD、∠BAC、∠CADのように、誰が見ても同じ解釈となるように書くことが推奨されます。
∠BADのように、点Aの角を示す際は、線分BAと線分ADの交点であることを示すために、記載する順番が決まっています。
暗黙の了解３：交点を真ん中に書く（交点Aの角度の場合は、例えば∠BAD）
暗黙の了解４：特に条件がなければ、∠BADまたは∠DABと記載して問題ない。
暗黙の了解５：合同や相似のような図形が関わる証明の時は、もう片方の図形と順番を揃える必要がある。
暗黙の了解５の出現条件：合同や相似のような図形が関わる証明の時
左の図では、
頂点Bと頂点Y、頂点Aと頂点X、頂点Dと頂点Z、点Cと点Hが対応しています。
この場合は∠BAD＝∠YXZと書くか、∠DAB＝∠ZXYと記載します。
このように対応する点を同じ順番で書くことが求められています。
鋭角と鈍角
鋭角
定義：０°より大きく、９０°より小さい角度をもつ角のこと
出現条件１：２つの線があり、交わっている場合（交点がある場合）【＝角の出現条件】
出現条件２：条件１で出来た角度のうち、９０°より小さい角度の場合
∠BADや∠DACが鋭角と呼ばれます。
今回は分かりやすく∠BAC＝９０°としてあります。
例えば、線分BAと線分DAが交わってできる（出現条件１）∠BADは、∠BAC＝９０°よりも小さい（出現条件２）と分かるので、∠BADは鋭角です。
「∠BADが∠BACより小さい」を証明する必要が有る場合は、∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝９０°を使用すれば良いです。
ほとんどの場合、問題文に記載されていると思われます（今回は問題文を省略している）。
鈍角
定義：９０°より大きく、１８０°より小さい角度を持つ角のこと
出現条件１：２つの線があり、交わっている場合（交点がある場合）【＝角の出現条件】
出現条件２：条件１で出来た角度のうち、９０°より大きく、１８０°より小さい角度の場合
∠DACが鈍角と呼ばれます。
∠BAC＝９０°としてあるので、わかりやすいと思います。
線分DAと線分CAが交わってできる（出現条件１）∠DACは、∠BAC＝９０°よりも大きい（出現条件２）と分かるので、∠DACは鈍角です。
直角と平角
鋭角と鈍角に含まれなかった９０°と１８０°を特別な名前を付けて呼んでいます。
それが、直角と平角です。
直角
定義：９０°の角度を持つ角のこと
出現条件１：２つの線があり、交わっている場合（交点がある場合）【＝角の出現条件】
出現条件２：条件１で出来た角度のうち、角度が９０°の場合
∠BACが直角です。
今回は図が直角三角形ですので、わかりやすいです。
問題文に「直角三角形BACについて」と書かれていた場合は、出現条件１と２を共に満たしていることになります。
平角
定義：１８０°の角度を持つ角のこと
出現条件１：２つの線があり、交わっている場合（交点がある場合）【＝角の出現条件】
出現条件２：条件１で出来た角度のうち、角度が１８０°の場合
∠BACが平角です。
線分BCのことであると考えて下さい。
通常は角とは記載されませんが、角の角度を答える問題や図形の証明の際は１８０°であることが利用されます。
線分BAと線分ACの交点A（出現条件１）があり、点Aが線分BC上にあるため、∠BAC＝１８０°（出現条件２）であることがわかります。
垂直の定義
定義：２つの線を直線に変えた時に交わってできる角が直角（９０°）のとき、この２つの線は垂直であるという
出現条件１：２つの線がある。【＝交点の出現条件１】
出現条件２：条件１の線が平行ではない。【＝交点の出現条件２】
出現条件３：条件１の線を直線に変更した時に交点に出来る角度が９０°である。
３種類の図はすべて、垂直な２つの線と表現することができます。
出現条件３に「線を直線に変更した時」という記載があるのは、一番右側の図も垂直であるためです。
線が直線であれば、交わった時に９０°になるので、垂直と言えることがわかります。
平行を改めて定義する
垂直を利用
定義：１つの直線に垂直な２つの直線は平行である
９０°が２つあることが特徴です。
三角形の内角の和は１８０°なので、線Aと線Bが交わると仮定すると、交点にできる角度が０°になるため、矛盾してしまいます。
これは線Aと線Bが交わるという仮定が間違っているので、線Aと線Bは交わらないという結論になります。
同位角を利用
定義：１つの直線に対して同位角が等しい２つの直線は平行である
同位角の角度に規定が無いことが特徴です。
線Aとの交点にある同位角の補角と線Bとの交点にある同位角を足すと１８０°になります。
そのため、垂直の時と同様に線Aと線Bが交わると仮定すると矛盾が生じます。
そのため、線Aと線Bは平行で、交わらないという結論に達します。
傾きを利用（座標必要）
定義：傾きが等しい２つの直線は平行である
平面座標上の傾きaの２直線は、平行になります。
証明する一つの方法としては、縦縞の部分の三角形の相似を証明したあとに、錯角が等しいことを記載する方法があります。
２直線の距離を利用（座標または図形が必要）
定義：等距離である２つの直線は平行である
２直線の距離とは、２直線に対して垂直な線分の距離のことです。
２箇所以上で距離を計算したときに、どれも同じ距離であれば、近づいたり離れたりすることがありませんので、交わることはないと確定出来るため、２直線が平行と言えます。
図ではh=h’となるときです。
直線と角の関係
対頂角
定義：２つの線が交わる時、向かい合う１組の角のこと
出現条件１：２つの線がある。【＝交点の出現条件１】
出現条件２：条件１の線が平行ではない。【＝交点の出現条件２】
出現条件３：条件１の線が交わっている。【＝交点の出現条件３】
出現条件４：片方の線の先端が交点上で終わっていないこと。
性質：対頂角は等しい
出現条件を見て下さい。
交点の出現条件をそのまま含んでいます。
つまり、交点ができれば、ほとんどの場合は対頂角があるはずです。
ただし、線が交点よりも先に伸びていないと対頂角が出来ないため、その点に注意をしてください。
証明は、平角を利用すると出来ると思います。
同位角
異なる２直線の同位角
定義：異なる２本の線に１本の線が交わる時の交点の位置にできる角のうち、同じ位置にできる角のこと
出現条件１：３本の線があり、少なくとも１本は平行ではない。
出現条件２：１本の線に対して、残りの２本の線が交わる交点がある。
１本の線を基準として固定して考えることが大事です。
図では、縦の線を固定して考えるとわかりやすいと思います。
縦の線と交わる線で出来る角のうち、交わる線の上側の角同士を同位角といいます。
平行な２直線の同位角
定義：異なる２本の平行な線に１本の線が交わる時の交点の位置にできる角のうち、同じ位置にできる角のことで、角度が等しい
出現条件１：３本の線があり、少なくとも１本は平行ではない。
出現条件２：１本の線に対して、残りの２本の線が交わる交点がある。
出現条件３：１本の線に対して交わっている残りの２本の線が平行である。
性質：平行線の同位角は等しい
これを証明するには、１本線を追加して、三角形の内角の和が１８０°というのを使うと出来ます。
錯角
異なる２直線の錯角
定義：異なる２本の線に１本の線が交わる時の交点の位置にできる角のうち、同位角の補角のこと
出現条件１：３本の線があり、少なくとも１本は平行ではない。【＝同位角の出現条件１】
出現条件２：１本の線に対して、残りの２本の線が交わる交点がある。【＝同位角の出現条件２】
出現条件は同位角の時と全く同じです。
同位角があるところに錯角ありです。
平行な２直線の錯角
定義：異なる２本の平行な線に１本の線が交わる時の交点の位置にできる角のうち、同位角の補角のことで、角度が等しい
出現条件１：３本の線があり、少なくとも１本は平行ではない。【＝同位角の出現条件１】
出現条件２：１本の線に対して、残りの２本の線が交わる交点がある。【＝同位角の出現条件２】
出現条件３：１本の線に対して交わっている残りの２本の線が平行である。【＝平行な２直線の同位角の出現条件３】
性質：平行線の錯角は等しい
平行な２直線の同位角の出現条件と全く一緒です。
平行線の同位角は等しいこと、対頂角は等しいことを利用すれば証明することが出来ます。
いくつか証明していきたいと思います。→ 証明No.1
おわりに
いかがでしたでしょうか。
定義や性質、公式のような目に留まる部分だけでなく、どういう条件の時に出てくるのかを知っていただきたいと思い書いてみました。
自分で問題を解く時や誰かに説明する時など、助けになるときが来ればと思います。
最後までご覧いただきありがとうございました。
コメント