こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、「数列の極限１」と題して、記事を書きました。
ｎをできるかぎり大きくした時に、すんなりと極限値が出ればよいですが、うまくいかないときの方法を３種類紹介しました。
基本の部分ですので、極限に関わるすべての問題で利用する可能性があるので、よく復習しましょう。
さて、今回は、数列の和の公式を使った問題を解説してみたいと思います。
正直な話、前回の記事の内容ができていれば、あとは数列ができるかどうか次第で問題が解けるかどうかが決まると思います。
それではご覧ください。
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数列の和の復習
まずは、念のために数列の和を計算するときの公式を再確認しておきましょう。
いかがでしょうか。
数列の和の公式を思い出せましたか？
これらを利用するような問題をこれから見ていきたいと思います。
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問題１
まずは、単純な問題から始めましょう。
◯次の問題の収束・発散を調べよ。
この問題では、和の公式さえ思い出すことができれば、すぐに計算に移れることがわかると思います。
和の公式については、別の記事で説明していきたいと思いますので、今回は和の公式を使った後を見ていきましょう。
式変形は問題ありませんでしたか？
あとはnを限りなく大きくしていけば結果がでます。
+∞になることがわかりますでしょうか
正の数を足していくとどうなるかという問題でしたので、今回の問題は想像しやすかったですね。
ここから少しずつ難しくしていきましょう。
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問題２
まだ見た目で数列の和とわかる問題ですが、２種類入っているので、どのように解けばよいのか考えていきましょう。
◯次の問題の収束・発散を調べよ
最初にやることは決まっていますね。
和の公式を使って計算できる状態にすることですね。
式変形をしてみましたが、いかがでしょうか。
和の公式を使って計算できる状態にして、分母と分子で通分して、∞/∞の形になったのでｎで通分しました。
あとはｎをできる限り大きくしていった時にどうなるかですが、1/ｎが０になりますので、答えはわかりますね。
これくらいなら、問題なく解けそうですね。
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問題３
この問題もあまり変わりはないのですが、少しだけ分かりづらいかもしれませんね。
◯次の問題の収束・発散を調べよ。
とりあえず∑を使って式を書いてみたいと思います。
分母と分子をそれぞれ∑を用いて表すことができました。
分母のほうをみても違和感を感じなければ問題ありません。
違和感を感じたり、不思議に思う場合は数列の和についてやり直したほうが良いでしょう。
さて、このままでは分母の計算をすることができませんので、展開して、計算ができる形に変えていきましょう。
あとは、計算していくだけですが、念の為確認しておきましょう。
この２つの式が混乱しやすいところなので、記載しておきたいと思います。
結果として次の式になります。
計算ミスをしていたら教えていただきたいですが、おそらく合っているはずです。
少なくともやり方は間違いありませんので、ぜひ皆さんも計算してみてください。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「数列の極限２」と題したものでした。
等差数列の和を利用した極限という内容でした。
数列の和の部分が問題なくできれば、極限値の計算自体は対して問題なく、計算ミスが起きそうなくらいごちゃごちゃしているというのが、困るところです。
前回の記事の内容がしっかりと頭に入っていれば解ける問題しか出てきませんので、安心していただければと思います。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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