こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、三角形の合同の証明１－４と題して、「３辺がそれぞれ等しい」という合同条件で証明する内容をお届けしました。
平行線の性質を利用して、合同条件を導き出すというコンセプトでした。
図形の性質はよく利用されるので、うろ覚えな場合には先にそちらを復習したほうが良いでしょう。
今回は、円上にある三角形について考えてみましょう。
それではご覧ください。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
合同条件
今回も、３種類ある合同条件のうち、「３辺がそれぞれ等しい」という条件で証明をする問題のみになります。
合同条件を選択する部分については、考える必要がありませんので、証明の内容に集中しましょう。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
円の性質を利用するパターン１
点Oを中心とする円があり、円周上に点A、点B、点C、点Dがある。
△OAB≡△OCDを示せ。
なお、AB=CDとする。
今回は円の性質を利用します。
まずは、考える必要のない、仮定の部分から書いていきましょう。
△OABと△OCDについて
仮定より、AB＝CD・・・①
今回目指している合同条件を満たすには、あとはOA=OCとOB=ODを示す必要がありますね。
そこで、円の性質を利用します。
仮定より、点A、点B、点C、点Dは円周上にあるので、点Oからは等距離にあるため、OA=OB=OC=OD・・・②
したがって、①、②より、３辺がそれぞれ等しいので、△OAB≡△OCD
円の半径を利用すれば、長さが等しいことがわかりますので、一気に解決しましたね。
円の問題で線の長さを必要とするときは、大抵は半径を使用すると思います。
今回は、「３辺がそれぞれ等しい」という条件の縛りで解説していますので、半径くらいしか利用する方法がありませんが、角については対頂角をはじめとして、いくつか条件が導き出せるのが円ですので、後ほどまた円についてはやっていきたいと思います。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
円の性質を利用するパターン２
点Oを中心とする２つの円があり、内側の円の円周上に点A、点C、外側の円の円周上に点B、点Dがある。
△OAB≡△OCDを示せ。
なお、AB=CDとする。
少しだけですが、図形が複雑になってきましたね。
しかし、証明の仕方はほとんど同じですよ。
書いてみましょう。
△OABと△OCDについて
仮定より、AB＝CD・・・①
円の半径について考えて、条件を作ってみましょう。
仮定より、点Aと点Cは同じ円の円周上にあるため、OA=OC・・・②
同様に、点Bと点Dは同じ円の円周上にあるため、OB=OD・・・③
したがって、①、②、③より、３辺がそれぞれ等しいので、△OAB≡△OCD
いかがでしょうか。
円は２つになりましたが、結局は円の半径と等しい長さなので、長さが同じですよという証明の仕方になっていますね。
ちょっと書き方が変わった部分がありますが、これは円が２つあるためで、「同じ円の円周上にあるため」という言葉にすることで、証明に不備が発生することを防いでいます。
このあたりのニュアンスは様々な問題を解いていかないと身につかないところですね。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
共通の辺を利用するパターン3
点Oを中心と円と点O’を中心とする円があり、２つの円は半径が同じ長さである。
点Oを中心とする円の円周上に点A、点Bがあり、点O’を中心とする円の円周上に点C、点Dがある。
△OAB≡△O’CDを示せ。
なお、AB=CDとする。
今回は２つの円が異なる点を中心に存在していますね。
点O’と書かれているとなんだろうと思う方もいるかと思いますが、点Oと同じように利用すれば問題ないです。
中心なのでOというアルファベットを使いたかったけど、両方の円の中心を点Oにするわけにはいかなかったので、片方に「’」をつけて区別しているだけです。
余分な意味などはとくにありません。
さて、それでは証明していきましょう。
△OABと△O’CDについて
仮定より、AB=CD・・・①
仮定より、点A、点Bは点Oを中心とする円周上にあるため、OA＝OB・・・②
同様に、点C、点Dは点O’を中心とする円周上にあるため、O’C＝O’D・・・③
仮定より、点Oを中心とする円と点O’を中心とする円は半径が等しいので、OA=OB=O’C=O’D・・・④
ここまで書いて思ったのですが、②、③は書かなくても良かったですね。
なぜかというと、④の条件を書くときに「仮定より」で始まっているので、②や③の条件は仮定に含まれていると考えればよいからです。
書いてあっても間違いではありませんけどね。
最小限の文章で書く証明のほうをここからまた書いておきたいと思います。
△OABと△O’CDについて
仮定より、AB=CD・・・①
仮定より、点Oを中心とする円と点O’を中心とする円は半径が等しいので、OA=OB=O’C=O’D・・・②
したがって、①、②より、３辺がそれぞれ等しいので、△OAB≡△O’CD
このような書き方が最小の文章になるのではないかなと思います。
「数学が苦手」な生徒のためのオンライン数学塾
まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「三角形の合同の証明1-5」と題したものでした。
円の性質を使用して考えようという回となりましたが、使っているのは「半径は等しい」という部分だけでしたね。
角がでてきたときにまた円の性質は使いますので、とりあえず半径は等しい」という当たり前の性質を使って条件を導き出せるようにしてくださいね。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
コメント