こんにちは。アラフォーパパです。
よくブログに書いてある証明は、きちんとしていてきれいにかかれていますよね。
無駄がありません。
しかし、そんな証明はできるヒトしか書けませんし、自分が書いた証明が正しいのかどうかを判断するための材料にはなりにくいですよね。
今回の記事は、証明する前の部分に関して「清書をしない」で書きたいと思います。
回答を考えている時にどのようなプロセスが起きるのかを見てもらいたいのです。
多少、見にくさ（順番が前後していたりなど）があると思いますが、企画の性質上仕方がありませんので、ご容赦下さい。
それでは、ご覧ください！
今回証明したいこと
「平行な２直線の錯角は等しい」を証明せよ！
つまり、a = b であることを証明したいと思います。
思いつくままに準備
証明したいことは、a=b ですね。
とりあえず、図に線を入れてみる。
とりあえず合同とか相似っぽい三角形ができればいいよねと思って赤い線を入れてみたところ・・・
「対頂角は等しい」は問題ないとして、他に線の長さも不明だし、角も他にわからない。
相似で△XNKと△YNMを示そうかと思ったが、断念。
他の線を入れてみることに。
図を更新します。
今度は２本の線を入れてみました。
入れる時には、前回の反省を生かして、線Bや線Cとの交点が垂直になる線を追加することにしました。線Dと線Eは平行になります。
図を書いているときは、△XMYと△YNXの相似か合同を示せばいけるかなと思っていました。
線分XYは共通だし、直角あるし、平行な線B、線Cに対して垂直な線を書いたのだから、線分XM＝線分NYだろう。（平行四辺形ですね。）
この時点での方針
①直角三角形の合同条件
「斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい」で攻めようか。
②三角形の合同条件
「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」で攻めようか。
③三角形の相似条件
「２つの角がそれぞれ等しい」で攻めようか。
という感覚でした。
そして∠MXY＝∠NYXが示せれば、いける！と考えていたときに、「あっ！」と思いついたのです。
なにを思い立ったのかということを解説するために、図を更新します。
当初は、∠XYNの対頂角が∠MXYと平行な２直線の同位角だから、∠XYN＝∠MXYである。
それで、△XMY∽△YNXを示せば、a=bになる。
という流れを当初は考えていました。
つまり、方針の③を目指していたわけです。
書く内容が少なめで行けそうだったからです。
ここで、∠MXY＝∠NYXを示す際に、「三角形の内角の和が１８０°」と使えないのかな？と考えました。
そして、直角三角形だから、「直角以外の内角の和が９０°である」を使えば簡単にできないか？と考えたわけです。
つまり、a+c=90°とb+d=90°であると考えた時に、なにか出来ないかということです。
そこで、c+b=90°が目に入ってきました。
ここで方針が変わりました。
この時点での方針
① a+c=90°とc+b=90°の連立方程式を解けば、
a=bになる
以上が私の頭の中でした。
まとめて行きたいと思います。
証明
平行な2直線の錯角が等しいことを証明する。（図の黒字は問題に初めから記載されていたとする。）
平行な2直線の錯角が等しいことを証明するには、a=bを証明すれば良い。
平行な直線B、直線Cに対して、垂直で、交点Xを通る直線を直線D、交点Yを通る直線を直線Eとする。
直線Bと直線Eの交点をN、直線Cと直線Dの交点をMとする。
∠XYN＝ｃ、∠YXM=ｄとおく。
a+c=90°（直角三角形の鋭角の和）・・・①
c+b=90°（垂直な直線の成す角は90°）・・・②
①、②より、a=b
以上より、平行な2直線の錯角は等しい □
あとがき
いかがでしたでしょうか。
考えている時の頭の中はぐちゃぐちゃでしたね。
証明の方針も大きくぶれました。
しかし、補助線をいれるときに、直角に交わるようにするとか、長さが同じ様になるようにしようという考え方が重要でした。
自分で使える条件を増やそうということですね。
いろいろな証明方法がありますので、他の方針でも問題なく証明可能です。
余裕があるときに補足として、他の方針の時の証明も書いてみたいと思います。
最後まで読んでいただきありがとうございました！
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