こんにちは。アラフォーパパです。
前回の記事では、「極限について」と題して、数Ⅲの極限で出てくる言葉や考え方について解説をいたしました。
「収束」、「発散」、「振動」はもう理解できましたか？
また、「＝」の意味合いが、今までの数学で出てきた「同等」の意味合いとは少し異なっていましたね。
このあたりをしっかりと理解しておかないと途中でわからなくなってしまうことでしょう。
ぜひ何度も読み返してください。
さて、今回は極限の中でも最初にでてくる「数列の極限」について少し触れていきたいと思っています。
皆さんは数列については、問題ありませんか？
数列については、別の機会に記事を書きたいと思いますので、ここでは極限の分野に必要なことを中心に記事にしますね。
それではご覧ください。
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数列の極限とは
実は、前回の記事の内容も数列の極限に含まれている内容になっていました。
しかし、最初から数列と極限の話を合わせてするとわかりにくかったため、わざと数列という言葉を出さずに記事にしていました。
例えば、
このような式が出てきたと思います。
本来は次のような数列が元にある話なのです。
この数列anの一般項は1/ｎですので、「数列anにおいて、ｎを限りなく大きくする時、」と書かれたときには、
この図のようなイメージを浮かべてもらえると良いと思います。
つまり、問題文から数列の一般項を抜き出して、それの変数を限りなく大きくして（数列の場合は限りなく大きくすると書かれることがほとんど）、「収束」なのか、「発散」なのか、「振動」なのかを調べていくことになります。
これが数列の極限で行うことの全てです。
あとは、様々な数列が出てきますので、それに合った方法で極限を求めていくということになります。
それでは、よく使われる手段を見ていきましょう。
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∞-∞を回避するための方法
それではよくある問題をみて考えてみましょう。
このままnを限りなく大きくしてしまうと、∞-∞になってしまって、０に収束すると考えてしまう場合があります。
しかし、それは間違いです。
どう見てもｎ2のほうが大きくなるはずなので、０になるはずがないのです。
そこで、次のように変形します。
最高次の項（今回はn2）でくくるのです。
この方法により、3/ｎが０に収束しますので、計算ができるようになります。
n2は+∞に発散しますので、今回の式全体も+∞に発散することがわかります。
そのため、次のように記載します。
大事なことなので、もう一度書きますが、最高次の項でくくってくださいね。
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∞/∞を回避するための方法
次に∞の割り算になってしまう形の問題を見ていきたいと思います。
今回の問題はいかがでしょうか。
ｎを限りなく大きくした時に、どのような形になりますか？
∞/∞になってしまうことがわかりますでしょうか。
これでは分子と分母のどちらが大きいか判断できません。
そこで、分子、分母ともに最高次の項でくくってみましょう。
n2は分子にも分母にもありますので、消せますね。
ここまでくれば、なんとなくわかってきたでしょうか。
ｎを限りなく大きくすると、いくつかの項は0になってしまいます。
1/ｎや1/ｎ2、2/ｎ2が０に収束しますよね。
そのため、残ったのは3です。
よって、この問題では、３に収束するというのが回答になります。
ここで注意ですが、記事の都合上、計算は横に並べてイコールでつなげておりますが、できれば次のように縦につなげていけると、本来はいいのではないかなと思いますので、お伝えしておきたいと思います。
無理数かつ∞-∞の回避方法
ここまでは基本的には最高次の項でくくるという方法が取られていました。
しかし、今回は無理数が絡んできますので、有理化を行うことになります。
まずは問題を見ていきましょう。
ぱっと見るだけでも∞ – ∞の形になりそうですね。
しかし、今回は最高次の項でくくることができません。
正確には、√ｎでくくってもあまり意味がありません。
ここで大事になってくるのが、有理化です。
有理化の仕方はここで詳しくはやりませんので、実際に今回の問題を有理化して行く過程で確認してください。
この形にすると、分母のｎを限りなく大きくしたら＋∞と表現できそうですね。
よって、
このようにして、有理化によって解決が可能な問題へと変形できますので、頭の片隅でも入れておいてください。
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まとめ
いかがでしたでしょうか。
今回の記事は「数列の極限１」と題したものでした。
実は前回の記事がすでに数列の極限になっていましたね。
数列の一般項のｎを限りなく大きくするとどうなるのかが、数列の極限でした。
ただし、ｎをとりあえず大きくしていけばよいということではなく、適切な形に変えることがとても重要です。
よくある困った形を３種類解説しました。
これらの形は、ここから先も必ず使用する方法になります。
ぜひ繰り返しご覧ください。
最後までご覧いただき、ありがとうございました！
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